[Differential Equation] One-Dimentional Heat Conduction Problem
Heat Conduction Problem을 단순화하여 살펴보자.
n개의 방이 있다고 가정한다. 각 방의 온도를 다음과 같이 정의한다.
\[T_1(t), T_2(t), \dots, T_n(t)\]
각 방간의 열교환을 어떻게 미분방정식으로 표현할 수 있을까? 직관을 발휘해보자.
1) 가장 먼저 할 수 있는 생각은 모든 방의 온도의 합은 보존될 것 같다.
\[T_1(t) + T_2(t) + \dots + T_n(t) = C\]2) 한 방의 온도의 변화는 옆 방과의 온도 차에 의해 발생할 것 같다.
\[\begin{align*} T_1'(t) &= k_1 (T_2(t) - T_1(t)) \\ T_2'(t) &= k_1 (T_1(t) - T_2(t)) + k_2 (T_3(t) - T_2(t)) \\ \vdots \end{align*}\]열을 다음과 같아 정의하여 더 정밀하게 표현하자. $(k_j > 0)$
$Q_j$는 j번째 방에서 j+1 번째 방으로 이동하는 열의 흐름으로 정의하자.
\[Q_j(t) = k_j (T_j(t) - T_{j+1}(t))\]열에 대한 정의를 이용하여 각 방의 온도를 다시 표현할 수 있다.
\[\begin{align*} T_1'(t) &= - k_1(T_1(t) - T_2(t)) = - Q_1(t) \\ T_2'(t) &= - k_2(T_2(t) - T_3(t)) + k_1(T_1(t) - T_2(t)) = - Q_2 + Q_1 \\ T_3'(t) &= - Q_3 + Q_2 \\ \vdots \\ T_n'(t) &= Q_{n-1} \\ \end{align*}\]모두 더하면
\[T_1'(t) + T_2'(t) + \dots + T_n'(t) = 0\]이므로 적분하여 1)이 성립함을 알 수 있다.
행렬을 이용하여 미분 방정식을 표현하자.
\[\begin{bmatrix} T_1' \\ T_2' \\ \vdots \\ T_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k_1 & k_1 & 0 & \dots & 0 \\ k_1 & -k_1-k_2 & k_2 & \dots & 0 \\ 0 & k_2 & -k_2-k_3 & \dots & 0 \\ \vdots &0 & \ddots & 0 &\vdots \\ 0 & \dots & k_{n-2} & k_{n-2}-k_{n-1} & k_{n-1} \\ 0 & \dots & 0 & k_{n-1} & -k_{n-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \\ \vdots \\ T_n \end{bmatrix}\]다음과 같이 정의한다면
\[X = \begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \\ \vdots \\ T_n \end{bmatrix} , \;\;\; A = \begin{bmatrix} -k_1 & k_1 & 0 & \dots & 0 \\ k_1 & -k_1-k_2 & k_2 & \dots & 0 \\ 0 & k_2 & -k_2-k_3 & \dots & 0 \\ \vdots &0 & \ddots & 0 &\vdots \\ 0 & \dots & k_{n-2} & k_{n-2}-k_{n-1} & k_{n-1} \\ 0 & \dots & 0 & k_{n-1} & -k_{n-1} \\ \end{bmatrix}\]다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[X' = A X\]General Solution of Heat Conduction Equation
$n = 2$ 일 때
\[A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}\]이므로 일반해는
\[x(t) = C_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + C_2 e^{-2t} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\]$n = 3$ 일 때
\[A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}\]이므로 일반해는
\[x(t) = C_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + C_2 e^{-t} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} + C_3 e^{-3t} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\]$n = 4$ 일 때
\[A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}\]이므로 일반해는
\[x(t) = C_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + C_2 e^{-2t} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + C_3 e^{(-\sqrt{2} -2)t} \begin{bmatrix} -1 \\ \sqrt{2} + 1 \\ -\sqrt{2} - 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + C_4 e^{(\sqrt{2} -2)t} \begin{bmatrix} -1 \\ -\sqrt{2} + 1 \\ \sqrt{2} - 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\]$n = n$ 일 때
…
Derivation of Heat Equation
u에 대한 방정식을 찾아보자.
n개의 방으로 나뉜 위 아래가 단열된 막대기를 다시 살펴보자.
가장 왼쪽 지점을 $x = 0$ 으로 정의하고 가장 오른쪽 지점을 $x = L$ 로 정의하자. 임의의 $x$ 는 가장 왼쪽 지점 $x = 0$ 으로부터 떨어진 거리이다.
그러면 $x$의 정의역을 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[\Omega = [x : 0 \leq x \leq L] = [0, L]\]위에서보다 열을 더 정밀하게 정의하자.
\[\]j번째 방에서 j+1 번째 방으로 이동하는 열의 흐름 $Q_j$ 을 더 정밀하게 정의하자.
\[Q_j(t) = \dfrac{k_j}{L/n} (T_j(t) - T_{j+1}(t))\]$u(x, t)$가 $k$th room에서 constant라고 가정하자. 즉,
\[u(x, t) = T_i \;\;\; \text{for all } \;\;\; x \in \left[ \dfrac{L}{n} (i-1), \dfrac{L}{n}i\right)\]$k_j = 1$ 을 가정하면 온도 변화량을 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[\begin{align*} \dfrac{dT_2}{dt} &= \dfrac{T_2 - T_1}{L/n} - \dfrac{T_3 - T_2}{L/n} \\ \dfrac{dT_j}{dt} &= \dfrac{T_j - T_{j-1}}{L/n} - \dfrac{T_{j+1} - T_j}{L/n} \\ \end{align*}\]따라서
\[\begin{align*} T_1(t) &= u(0, t) \\ T_2(t) &= u(L/n, t) \\ T_3(t) &= u(2L/n, t) \\ \end{align*}\]한편 이를 이용하면
\[\dfrac{dT_2}{dt} = \dfrac{T_2 - T_1}{L/n} - \dfrac{T_3 - T_2}{L/n}\]를 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[\dfrac{\partial u (L/n, t)}{\partial t} = \dfrac{u(L/n, t) - u(0, t)}{L/n} - \dfrac{u(2L/n, t) - u(L/n, t)}{L/n}\]$n \rightarrow 0$ 일 때
\[\dfrac{\partial u (0, t)}{\partial t} = 0\]라는 결론을 얻게 된다. 유사한 방식으로 임의의 지점에 대한 u의 t에 대한 미분계수를 구하자.
편의를 위해 길이 L을 2n으로 나눈 상황을 생각하자.
\[T_n(t) = u(L/2, t)\]이므로
\[\dfrac{dT_{n}}{dt} = \dfrac{T_{n}(t) - T_{n-1}(t)}{L/2n} - \dfrac{T_{n+1}(t) - T_{n}(t)}{L/2n}\]u를 이용하여 나타내자.
\[\dfrac{\partial u(L/2, t)}{\partial t} = \dfrac{u(L/2, t) - u(L/2 - L/2n, t)}{L/2n} - \dfrac{u(L/2 + L/2n, t) - u(L/2, t)}{L/2n}\]….?
Solution
One-dimentional heat conduction problem formulation
For $x \in (0, L), t > 0$,
\[\begin{align*} u_t &= u_{xx} \\ f(x) &= u(x, 0) \\ u(0, t) &= u(L, t) = 0 \\ \end{align*}\]해의 형태를 다음과 같이 가정하자.
\[u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n u_n(x, t)\]변수분리법을 만족하는 해만 고려할 것이다.
\[\begin{align*} u_n(x, t) &= X_n(x)T_n(t) \\ &= \exp{\left(-\dfrac{n^2\pi^2 t}{L} \right)} \sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)} \end{align*}\] \[c_n = \dfrac{2}{L} = \int_0^L f(x) \sin \left( \dfrac{n\pi x}{L} \right) dx\]Reference
- 권도현 교수님 week 11-2, 12-1, 12-2, 14-1