[Electric Circuit] 라플라스 변환을 이용한 회로 해석
1. 라플라스 회로 해
시간 영역에서의 미분방정식
라플라스 변환
미분방정식을 라플라스 변환 접근법으로 해를 구한 경우에 전체 해를 한 단계로 바로 구할 수 있다.
라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식으로 변환시킨다.
2. 회로 소자 모델
문제 해결 전략
- 초기 커패시터 전압과 인덕터 전류를 구한다. 이때 모든 커패시터를 개방 회로로 대치시키고, 모든 인덕터를 단락 회로로 대치시킨 t < 0에서의 회로 해석이 필요하다.
- 모든 회로 소자들을 각각의 s-domain 영역 표현으로 대치시킨 s-영역 회로를 그린다. 커패시터 및 인덕터의 초기조건이 0이 아니라면 반드시 포함시키도록 한다.
- 이 교재에 소개된 회로 해석기법들을 이용하여 적절한 전압/전류를 구한다. 전압/전류는 s에 대한 다항식의 비로 나타난다.
- 라플라스 역변환을 취하여 전압/전류를 시간 영역으로 변환시킨다.
3. 해석 기법
회로 소자에 대한 s-영역 모델을 구하였으므로 변환된 회로를 이용하여 회로망을 해석할 수 있다.
4. 전달 함수
전달함수는 어떤 입력 변수에 대한 어떤 출력 변수의 비이다.
만약 입출력 변수가 모두 전압이면 전압 이득, 입출력 변수가 모두 전류이면 전류 이득, 한 변수는 전압이고 다른 한 변수가 전류이면 전달 어드미턴스 또는 전달 임피던스
1차 회로망의 고유 응답(회로 내에 하나의 저장 소자만이 존재하는 경우)
\[x(t) = X_0 e^{-t/\tau}\]- $x(t)$ : $v(t)$ 또는 $i(t)$
- $X_0$ : $x(t)$의 초기값
- $\tau$ : 회로망의 시정수
2차 회로망의 고유 응답은 다음의 특성 방정식에 의해 제어된다.
\[s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2 = 0\]- $\zeta$ : 제동비
- $\omega_0$ : 비제동 고유주파수
| Case | $\zeta$ | 명칭 | 특성방정식의 근 | 회로망의 응답 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $\zeta > 1$ | 과제동 회로망 | $-\zeta\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1}$ | $x(t) = K_1 e^{-(\zeta\omega_0 + \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1})t} + K_2 e^{-(\zeta\omega_0 - \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1})t}$ |
| 2 | $\zeta < 1$ | 부족제동 회로망 | $-\zeta\omega_0 \pm j\omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ | $x(t) = K e^{-\zeta\omega_0t} + \cos(\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}t + \Phi)$ |
| 3 | $\zeta = 1$ | 임계 제동 회로망 | $s_1, s_2 = -\omega_0$ | $x(t) = K_1 t e^{-\omega_0 t} + K_2 t e^{-\omega_0 t}$ |
5. 정상상태 응답
회로망의 정상상태 응답을 직접 결정할 수 있는 방법