[Electric Circuit] Three Phase Circuits
1. Three phase circuits
3상 회로 : 강제 함수가 3상의 전압을 갖는 시스템
전압의 평형 : 크기와 주파수가 같고 각각 120’의 위상차를 가지고 있는 세 개의 정현파 전압
평형 3상 회로 : 평형을 이룬 전압에 의하여 평형인 전류를 형성하는 부하
3상 시스템에 의해 발생되는 순시 전력을 알아보자.
평형을 이룬 3상 전압과 전류
\[v_{an}(t) = V_m \cos\omega t V, \quad v_{bn}(t) = V_m \cos (\omega t - 120\degree) V, \quad v_{cn}(t) = V_m \cos (\omega t - 240\degree) V\] \[i_a(t) = I_m \cos (\omega t - \theta) A, \quad i_a(t) = I_m \cos (\omega t - \theta - 120\degree) A, \quad i_a(t) = I_m \cos (\omega t - \theta - 240\degree) A\]시스템에 의해 발생된 순시 전력
\[p(t) = p_a(t) + p_b(t) + p_c(t)\] \[= V_mI_m [\cos\omega t \cos (\omega t - \theta) + \cos (\omega t - 120\degree)\cos (\omega t - \theta - 120\degree) + V_m \cos (\omega t - 240\degree)\cos (\omega t - \theta - 240\degree)]\] \[= V_mI_m [\dfrac{1}{2}(\cos\theta + \cos(2\omega t -\theta)) + \dfrac{1}{2}(\cos\theta + \cos(2\omega t -\theta - 240\degree)) + \dfrac{1}{2}(\cos\theta + \cos(2\omega t -\theta - 480\degree))]\] \[= \dfrac{V_mI_m}{2}[3\cos\theta + \cos(2\omega t - \theta) + \cos(2\omega t - \theta - 120\degree) + \cos(2\omega t - \theta + 120\degree)]\] \[= 3\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta W\]단상 전력이 시간에 다라 변하는 것과 달리 3상 시스템의 순시 전력은 시간에 관계없이 항상 일정하다. 이것이 3상 형태로 전력을 발생시키는 중요한 이유 중에 하나이다.
2. Three phase connections
If the load currents generated by connecting a load to the power source are also balanced, there are two possible equivalent configurations ofr the load. 이 등가 부하는 $Y(wye)$ 또는 $\Delta(delta)$ 형상으로 연결된다.
$Y(wye)$ 결선은 선 간 전압과 선-중성선 간 전압과 같이 두 개의 전압을 사용할 수 있다. 중성점은 서지 전압의 크기를 제한하여 시스템을 보호하기 위한 접지선의 연결점이다.
$\Delta(delta)$ 결선은 불평형 부하 시에 평형을 유지할 수 있으며 제 3 고조파 성분을 차단할 수 있다.
3. Source/load connections
전원과 부하는 $Y(wye)$ 또는 $\Delta(delta)$ 어느 형태로든 연결될 수 있기 때문에 평형 3상 회로는 $Y-Y$, $Y-\Delta$, $\Delta-Y$, 또는 $\Delta-\Delta$로 결선할 수 있다.
평형 $Y-Y$ 결선
전원과 부하가 모두 $Y$ 결선이 되면 정방향 상순의 상전압은 다음과 같다.
\[V_{an} = V_p\angle0\degree\] \[V_{bn} = V_p\angle-120\degree\] \[V_{cn} = V_p\angle+120\degree\]여기서 상전압 $V_p$는 중성선과 임의의 선 간의 상전압 크기이다. 한편 선 간 전압(또는 선전압)은 KVL을 이용하여 구할 수 있다.
\[V_{ab} = V_{an} - V_{bn} = V_p\angle0\degree - V_p\angle-120\degree = V_p - V_p(-\dfrac{1}{2} - j\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = V_p(\dfrac{3}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = V_p\angle 30\degree\] \[V_{bc} = \sqrt{3}V_p\angle-90\degree\] \[V_{ca} = \sqrt{3}V_p\angle-210\degree\]선전압의 크기 $V_L$과 상전압의 크기의 관계
\[V_L = \sqrt{3}V_p\]$Y-Y$ 결선에서 전원과 부하에 연결된 선로에 흐르는 전류는 부하를 통하여 흐르는 상전류와 같다.
\[I_L = I_Y\]Delta-Connected Source
$\Delta$ 결선 전원에서 전원은 서로와 선로 사이에 연결되어 있다.
$\Delta$ 전원이 다음과 같다고 가정하면,
\[V_{ab} = V_L\angle 0\degree\] \[V_{bc} = V_L\angle -120\degree\] \[V_{ca} = V_L\angle +120\degree\]등가 $Y$ 결선 전원은
\[V_{an} = \dfrac{V_L}{\sqrt{3}}\angle -30\degree\] \[V_{an} = \dfrac{V_L}{\sqrt{3}}\angle -150\degree\] \[V_{an} = \dfrac{V_L}{\sqrt{3}}\angle 90\degree\]여기서 $V_L$은 상전압의 크기이고 $V_p$는 등가 Y 결선 전원의 상전압의 크기다.
$\Delta$ 결선 전원을 포함한 회로를 해석하고자 할 경우에는 $\Delta$ 결선 전원을 $Y$ 결선 전원으로 간단하게 변환한다.
문제풀이 전략 - 3상 평형 교류 전력 회로
1단계 : 만약 전원이나 부하 또는 둘 다가 $\Delta$로 연결되었다면 전원/부하를 미정 페이저를 구하기에 용이한 $Y-Y$ 결선으로 변환한다.
2단계 : 3상 시스템이 평형을 이루고 있기 때문에 회로의 상 a에 대한 미정 페이저를 결정한다.
3단계 : 결정된 페이저를 원래 시스템 내의 대응되는 페이저로 변환한다.
Delta-Connected Load
$\Delta$ 결선 부하의 결선에서 선전압은 각 부하 임피던스 양단의 전압과 같다.
전원의 상전압이 다음과 같다고 가정하면,
\[V_{an} = V_p\angle 0\degree\] \[V_{bn} = V_p\angle -120\degree\] \[V_{cn} = V_p\angle +120\degree\]선전압은
\[V_{ab} = \sqrt{3} V_p \angle 30\degree = V_L\angle 30\degree = V_{AB}\] \[V_{bc} = \sqrt{3} V_p \angle -90\degree = V_L\angle -90\degree = V_{BC}\] \[V_{ab} = \sqrt{3} V_p \angle -210\degree = V_L\angle -210\degree = V_{CA}\]4. Power relationships
$Y$ 결선 시스템에서 $I_p = I_L, \quad V_p = \dfrac{V_L}{\sqrt{3}}$
$\Delta$ 결선 시스템에서 $I_p = \dfrac{I_L}{\sqrt{3}}, \quad V_p = V_L$
부하가 $Y$ 결선이든 $\Delta$ 결선이든 간에 각 상에서 유효 전력과 무효전력은
\[P_p = V_pI_p\cos\theta = \dfrac{V_LI_L}{\sqrt{3}}\cos\theta\] \[Q_p = V_pI_p\sin\theta = \dfrac{V_LI_L}{\sqrt{3}}\sin\theta\]여기서 $\theta$는 상전압과 선전류 사이의 각이다.
3상 전체에 대한 총 유효 및 무효 전력은
\[P_T = 3P_p = \sqrt{3} V_L V_L \cos\theta\] \[P_T = 3P_p = \sqrt{3} V_L V_L \sin\theta\]복소 전력(피상 전력)의 크기와 위상각은
\[S = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}\] \[\angle S_r = \theta\]