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  • Lec. 8. Bayes Filter - Discrete Filters
  • Lec. 9. Bayes Filter - Particle Filter and MCL
  • Lec. 10. Bayes Filter - Kalman Filter
  • Lec. 11. Bayes Filter - Extended Kalman Filter

소개

베이즈 필터

이산 필터

  • 상태 공간이 이산적일 때 사용되는 필터링 기법
  • 각 가능한 상태에 대해 확률을 계산하고, 이 확률 분포를 기반으로 시스템의 상태를 추정한다.
  • 이 방법은 가능한 모든 상태에 대한 확률을 명시적으로 계산하기 때문에 상태 공간이 작은 경우에만 효율적이다. 상태 공간이 커지면 계산 복잡도가 급격히 증가한다.

입자 필터

  • 비선형 또는 비 가우시안 시스템의 상태 추정을 위해 사용되는 방법
  • 상태의 확률 분포를 샘플링된 입자 집합으로 나타낸다.
  • 각 입자는 상태 공간 내의 하나의 가능한 상태를 나타내며, 이 입자들을 통해 시스템의 상태를 추정한다.
  • 복잡한 시스템의 적용할 수 있다.
  • 상태 공간의 크기에 관계 없이사용할 수 있다.

칼만 필터

  • 선형 시스템에서 연속적인 상태를 추정하는 데 사용된다.
  • 상태를 가우시안 분포로 가정하여 평균과 공분산 행렬로 상태를 표현한다.
  • 예측 단계와 업데이트 단계를 거친다.
  • 새로운 측정값이 들어올 때마다 상태를 업데이트한다.

확장 칼만 필터

  • 칼만 필터를 비선형 시스템에 적용하기 위해 확장한 방법

Kalman Filter

Bayes Filter

  • Prediction
\[bel (x_t) = \eta \; p(z_t \vert x_t) \int p (x_t \vert u_t, x_{t-1} bel(x_{t-1})) dx_{t-1}\]
  • Correction
\[\overline{bel}(x_t) = \int p(x_t \vert u_t, x_{t-1}) bel (x_{t-1}) dx_{t-1}\]

Kalman Filter is

  • Bayes filter with Gaussians
  • Developed in the lated 1950’s

Gaussians

Univariate (1D)

\[p(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} e^{-\dfrac{1}{2}(x- \mu)^t \Sigma^{-1}(x- \mu)} \\ p(x) \sim N(\mu, \sigma^2)\]

Properties

  • 확률변수와 확률분포 간에 선형 관계가 존재한다.
  • 각 확률 변수의 확률의 곱

We stay Gaussian as long as we start with Gaussians and perform only linear transformations.

Discrete Kalman Filter

\[x_t = A_t x_{t-1} + B_t u_t + \epsilon_t \\ z_t = C_t x_t + \delta_t\]
  • $A_t$ : n x n matrix that describes how the state evelves from t-1 to t without controls or noise
  • $B_t$ : n x l matrix that describes how the control $u_t$ changes the state from t-1 to t
  • $\epsilon_t$ : random variables representing the process and measurment noise that noise that as assumed to be independent and normally distributed with covariance $Q_t$ and $R_t$ respectively

Kalman FIlter Updates in 1D

  • prediction : 분산이 크다.
  • measurement :
  • correction : 측정값과 유사하게 한다. 이 과정에서 분산이 작아진다.

prediction과 measurement(observation)를 조합해서 correction 분포를 얻는다.

Extended Kalman Filter

\[x_t = g(u_t, x_{t-1}) \\ z_t = h(x_t)\]
  • The non-linear functions lead to non-Gaussian distributions
  • Kalman filter is not applicable anymore

What can be done to resolve this?

Local linearization!

EKF Linearization : First Order Taylor Expansion

  • Prediction
\[\begin{align*} g(u_t, x_{t-1}) &\approx g(u_t, \mu_{t-1}) + \dfrac{\partial g(u_t, \mu_{t-1})}{\partial x_{t-1}} (x_{t-1} - \mu_{t-1}) \\ g(u_t, x_{t-1}) &\approx g(u_t, \mu_{t-1}) + G_t (x_{t-1} - \mu_{t-1}) \end{align*}\]
  • Correction
\[\begin{align*} h(x_t) &\approx h( \overline{\mu_t}) + \dfrac{\partial h(\overline{\mu_t})}{\partial x_t} (x_t - \overline{\mu_t}) \\ h(x_t) &\approx h( \overline{\mu_t}) + H_t (x_t - \overline{\mu_t}) \end{align*}\]

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